معلومات

التماثل في الرياضيات V


من الفيزياء نتعلم أن "طول بلانك" قد يكون أصغر كمية تنتجها الطبيعة. غالبًا ما يستخدم الفيزيائيون "الترميز العلمي" لتمثيل "أوامر الحجم". حتى طول بلانك مكتوب في 10-35 متر. تذكر أن قطر الذرة ، لأغراض المقارنة ، يمكن أن يختلف من 10-15 متر إلى 10-10 متر. لذلك ، فإن ترتيب حجم طول بلانك أصغر بعشرين مرة من قطر الذرة: 10-35 = 10-15 ' 10-20.

مفتاح فهم التماثل بين كبيرة بلا حدود و صغيرة بلا حدود إنه على وجه التحديد عادة الفيزيائيين لتمثيل كلا من خلال التدوين العلمي. لكل رقم كبير جدا ، قل 1035، نطابق عددًا صغيرًا جدًا ، وفي هذه الحالة الرقم 10-35. لاحظ أن منتج هذين الرقمين هو 1 لأن 10-35 هو ، في النظام الموضعي ، 0 متبوعًا بفاصلة و 34 أصفار متبوعًا بالرقم 1 ، بينما 1035 هو 1 تليها 35 الأصفار قبل الفاصلة. كما نضرب بعضنا البعض ، كل صفر قبل فاصلة 1035 يسبب فاصلة الآخر لتحريك مربع واحد إلى اليمين. في النهاية ، سنحصل على 10-35 ' 1035 = 1! دعونا نلاحظ أن الحساب الذي قمنا به كان كما لو كنا نفعل 10 فقط-35+35 = 100 = 1. في الكلمات ، نقل الفاصلة 35 مكانًا إلى اليسار ثم 35 مكانًا إلى اليمين تترك 1 بدون تغيير.

الفاصلة هي الفاصل بين الكبير والصغير. يمكننا إنتاج أرقام أصغر وأصغر ببساطة عن طريق وضع الأصفار بعد الفاصلة ، كما نشاء ، تليها أي رقم. على سبيل المثال ، 0.000000000000000000000007. وبالمثل ، وبشكل متماثل ، يمكننا الحصول على عدد متزايد من خلال كتابة رقم متبوعًا بأكبر عدد ممكن من الأصفار كما نشاء. على سبيل المثال ، 70،000،000،000،000،000،000،000،000. لاحظ أنه من الأسهل بكثير تمثيل الأرقام الكبيرة في النظام العشري الموضعي بدلاً من العثور على أسماء لها.

في الفيزياء لا يمكننا استقراء طول بلانك إلى كميات أصغر ، لكن في الرياضيات لا توجد حدود لخيالنا. مثلما لا توجد كمية معروفة أصغر من طول بلانك ، لذلك لا يُعرف ما إذا كان هناك أكثر من 10100 ذرات في عالمنا الملحوظ. في خيالنا لا بأس أن نتصور الأرقام مثل 101000 و 10-1000. ما هو أكثر من ذلك ، منتج هذين يساوي 1! هذا هو الجزء المثير للاهتمام. هناك هيكل المضاعفات من اللافت للنظر أننا سنبحث بمزيد من التفاصيل الآن.

كل عدد من النموذج 10N يتوافق مع نموذج آخر 10-N ومنتج بعضهم البعض هو 1. قد نطلب بعد ذلك: هل سيكون لكل عدد كبير أيضًا عدد صغير بحيث يكون منتج الاثنين دائمًا 1؟ إذا افترضنا هذا لكل رقم موجب ، عندها لدينا المعلومات التالية حول الأرقام الموجبة:

(أ) يعترف كل رقم موجب برقم آخر بحيث يكون ناتج الاثنين هو 1 ؛

(ب) بضرب ثلاثة أرقام إيجابية يمكننا القيام بذلك بأي ترتيب ؛

(ج) 1 محايد في الضرب.

الخاصية (أ) هي نتيجة لرغبتنا في أن التماثل المثير للاهتمام بين الكبيرة والصغيرة يمتد إلى جميع الأرقام الإيجابية. الخاصية (ب) هي نتيجة لرغبتنا في عدم إفساد المعرفة التي لدينا بالفعل حول الضرب ، وبغض النظر عن الترتيب الذي نضرب فيه ثلاثة أرقام. أخيرًا ، تعتبر الملكية (ج) ملاحظة مفيدة ومهمة للغاية. يخبرنا أن 1 عنصر محايد في ضرب الأرقام.

ولكن السؤال الذي يطرح نفسه على الفور: لماذا على وجه الأرض نختار هذه الخصائص الثلاث على وجه التحديد؟ لأن ثلاثة هي الحد الأدنى لعدد الخصائص التي نحتاجها لوصف التماثل. الأرقام التي تلبي هذه الخصائص الثلاثة تشكل بنية متماثلة تسمى مجموعة. تم استخدام هذا التركيب المتناظر والمسمى بالمجموعة على نطاق واسع في الفيزياء لقياس تماثلات الطبيعة ، وأوجد قدراً هائلاً من المعرفة الجديدة في الرياضيات نفسها.

الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة تشكل مجموعة ، ولكن فيما يتعلق بالإضافة. وهذا يعني ، بالنسبة للأعداد الصحيحة ، أننا نعتبر نفس الخصائص الثلاث أعلاه عن طريق تغيير ضرب الكلمات عن طريق الإضافة ، الأمر الذي يفرض علينا أيضًا تغيير العنصر المحايد الذي يصبح صفرًا. نقول أن تماثل الأعداد الصحيحة هو مضافة في حين أن تماثل الأعداد الموجبة والصغيرة الموجبة هو متعدد. للأعداد الصحيحة نكتب:

(أ) يعترف كل عدد صحيح بآخر صحيح أن مجموع الاثنين يساوي 0 ؛

(د) بإضافة ثلاثة أعداد صحيحة يمكننا القيام بذلك بأي ترتيب ؛

(هـ) 0 محايد بالإضافة إلى ذلك.

قد يسأل المرء الآن: لماذا نفاد السلبيات في التماثل بين الكبيرة والصغيرة؟ هذا السؤال مثير للاهتمام وضروري الآن. الجواب هو أن هناك نسخة متماثلة تمامًا تقريبًا من المجموعة المضاعفة للإيجابيات الكبيرة والصغيرة إذا وضعنا إيجابيات الإشارة السلبية على الجانب الأيسر من 0 على خط رقمي. كل إيجابي كبير أو صغير له تناسبي بالنسبة لـ 0 الموجود على نفس المسافة من الصفر. على سبيل المثال ، يكون لكل من 1000 و 001 متماثل -1000 و -001. قلنا نسخًا متماثلًا تقريبًا مثاليًا لأنه بضرب السلبيات نحصل على موجب يسقط من الجانب السلبي لخط الأرقام. ومع ذلك ، يمكننا "رؤية" لكل سلبي بعيد جدًا عن الصفر ، "متماثل" سلبي قريب جدًا من الصفر. على سبيل المثال ، -1،000،000 و - 0،00101.

يمكن بعد ذلك وصف الصورة النهائية للتماثل بين الأرقام الكبيرة والصغيرة على النحو التالي: في السطر العددي على الجانب الأيمن من 0 تكمن الإيجابيات الكبيرة والصغيرة التي تشكل مجموعة مضاعفة. لكل رقم إيجابي كبير ، أي بعيدًا عن الصفر على اليمين ، يوجد رقم سلبي بعيدًا عن الصفر على اليسار. لكل رقم موجب صغير جدًا ، أي قريب جدًا من الصفر ، يوجد عدد سلبي قريب جدًا من الصفر ولكن إلى اليسار. السلبيات البعيدة أو القريبة من الصفر لا تشكل مجموعة. لا تزال السلبيات جنبًا إلى جنب مع الإيجابيات تشكل مجموعة مضاعفة ، حيث لا تزال خصائص المجموعة الثلاث راضية.

العودة إلى الأعمدة

<

فيديو: الأشكال المتماثلة ومحور التماثل - رياضيات - للصف الخامس - موقع نفهم (أغسطس 2020).