بالتفصيل

التماثل ، ومكافحة التماثل ، والتناظر كسر الخامس


لذلك ، يمكن أن يمثل المتجه ظاهرة طبيعية وتستمر العمليات بين المتجهات في تمثيل ظاهرة الطبيعة. من المحتم إذن أن نسأل: ما هي العمليات الأخرى بين المتجهات التي تمثل ظواهر الطبيعة؟ أي جبر متجه قادر على كشف سلوك الطبيعة؟ إلى أي مدى يمكن للانسان العاقل العاقل الذهاب في هذا التحقيق في الطبيعة؟

التماثل ، ومكافحة التماثل ، والتناظر كسر الرابع

وظائف الجيب و(ف) = سين (وك + ف0) هي نماذج رياضية للإشارات أو الموجات الكهرومغناطيسية ، على سبيل المثال ، أين ال هو السعة ، ث هو تردد إشارة و ف0 إنها المرحلة الأولية. هذه النماذج الرياضية مناسبة جداً لوصف الفولتية التي توفرها مولدات التيار المتردد في دوائر الحالة المستقرة.

بالنظر إلى إشارة دورية جيدة التصرف ، يمكننا وصفها على أنها مجموعة لا حصر لها من الوظائف الجيبية (تذكر أن وظائف جيب التمام هي أيضًا نوع من الجيوب الأنفية) كما اكتشفها جوزيف فوريير (1768-1830) ، عالم رياضيات فرنسي قريب جدًا من نابليون ، وأول من يقوم بدراسة منهجية لتقريب الوظائف من خلال سلسلة مثلثية. في عام 1822 نشر عمله الشهير Theorie Analytique de la Chaleur. دانييل بيرنولي (1700-1782) قد درس بالفعل هذا النوع من النهج لحل مشاكل الأوتار النابضة بالحياة (1747). في عام 1824 ، حصل فورييه على المبلغ غير المحدود الذي يصف حركة الموجة الحرارية عبر الجسم.

تحليل فورييه ، وهو فرع مهم من الرياضيات المعاصرة التي تطورت نتيجة لاكتشاف فورير ، ليست دراسة تافهة. على وجه الخصوص ، يعد التعامل مع الدوائر الكهربائية البسيطة رياضياً مهمة لا نظير لها. ومع ذلك ، وجد المهندسون أن الأرقام المعقدة ، حتى لو اعتبرها الكثيرون أرقامًا "وهمية" ، يمكن أن تبسط إلى حد كبير المعالجة الرياضية للدوائر الكهربائية.

دارة RLC ، أي مع المقاوم ، لفائف ومكثف ، في حالة القوة الدافعة الكهربائية (f.e.m.) و(تي) هو الجيبية (أو الجيوب الأنفية المشتركة) ، وهي حالة مهمة من التيار المتناوب ، ويعترف بحل أنيق وبسيط للشحنة التي تدور فيه ، من خلال العلاج الجبري باستخدام ناقلات مستوية تابعة للضرب المعقد. .

هو علاج عناصر الدائرة الكهربائية بواسطة مراحل. ومع ذلك ، دعونا نتذكر قبل قوانين Kirchhoff.

أعلن الفيزيائي الألماني غوستاف روبرت كيرشوف (1824-1887) في عام 1845 عن القوانين التي تسمح بالتساوي بين التيار الكهربائي والفولتية ومقاومة الدوائر الكهربائية. وهذا هو ، في مقاومة معدل تباين الجهد DVR/دينارا يتناسب مع الحالي أنا = DQ/دينارا في لحظة تيمن أين كتبنا من:

DVR/دينارا = R أنا = R DQ/دينارا;

على مكثف ، ومعدل تغيير الجهد DVC/دينارا يتناسب عكسيا مع الحمل Q(تيفي الوقت الحالي تيمن أين كتبنا من:

DVC/دينارا = Q/C;

وفي الملف ، معدل تغيير الجهد DVL/دينارا يتناسب مع معدل التغير الحالي دي/دينارا في لحظة تيمن أين كتبنا من:

DVL/دينارا = L دي/دينارا = L د2Q/دينارا2.

نحن نستخدم التدوين الشهير دى/DX للفيلسوف والعالم الرياضي الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنيز (1646-1716) لمعدل التغير الفوري للكمية ذ بسبب لآخر س. لاحظنا أن المعدل الفوري الثاني للتغيير د2Q/دينارا2 من الشحنة الكهربائية Q هو أول معدل لحظية للتغيير دي/دينارا التيار الكهربائي أنا نسبة إلى الوقت تي.

النظر في الترتيب الثاني المعادلة التفاضلية الخطية العادية (EDOL) التي قدمتها فكرة أن مجموع انخفاض الجهد يساوي f.e.m. الموردة إلى الدائرة:

L د2Q1/دينارا2 + R DQ1/دينارا + Q1/ ج = V كوس (ث ر)

حيث V هو الحد الأقصى لقيمة f.e.m. المقدمة.

من أجل استخدام صيغة ليونارد يولر الشهيرة والجميلة (ويس = كوس س + ي صن سأين ي هي وحدة معقدة مثل هذا ي2 = -1 ، نتخيل تناسقًا خفيًا للمعادلة الكهربائية أعلاه ، وهو ليس أكثر من نفس الدائرة التي تتلقى f.e.m. التي قدمها V sen (ث ر) ، والتي سوف تستجيب لذلك مع Q2 والتيار أنا2.

بعد ذلك ، نكمل التماثل المعقد لهذه EDOL من خلال إضافة مكمله المتماثل التخيلي ، أي المعادلة:

L د2Q2/دينارا2 + R DQ2/دينارا + Q2/ ج = V sen (ث ر).

التهمة وهمية Q2 متناظرة متصلة الحمل Q1 يشكل تهمة معقدة Q فقط حتى نتمكن من استخدام صيغة أويلر. توضح هذه الصيغة أن حل إحدى هذه المعادلات تلقائيًا يعني حل المعادلة المتماثلة. ويرجع ذلك إلى تدوين المتجه المسطح وترميز Euler المعقد الذي يسمح بدمج المعادلتين في واحدة. باستخدام علامات الاقتباس للتدوين دى/DX من ليبنيز ، لدينا:

L(Q1´´ + يQ2´´) + R(Q1´ + يQ2´) + (Q1 + يQ2)/ ج = V كوس (ث ر) + يخطيئة الخامس (ث ر),

بمعنى ، نحن نعقد الشحنات الكهربائية و f. وبالتالي لدينا:

LQ´´ + RQ´ + C-1س = الخامس هيوزن.

مع Q = Q1 + يQ2, Q´ = Q1´ + يQ2´, Q´´ = Q1´´ + يQ2´´ ه ويوزن = V (كوس (ث ر) + ي صن (ث ر)).

هذا التماثل يسري بالمثل على EDOL الشهير والمهم المعروف باسم نظام الكتلة الربيعية ، والمعروف لدى المهندسين ، حيث تطبق القوة الخارجية على النظام ، الذي يلعب دور f.e.m. تطبق على الدائرة الكهربائية ، هو دوري في الطريقة V كوس (ث ر) أو خطيئة الخامس (ث ر).

المحلول الكهربائي المركب لـ EDOL هو محور ، أي شحنة كهربائية معقدة توفر تيارًا كهربائيًا معقدًا أنا(تي) = K ويوزن. لذلك ، يمكن أيضًا حل نظام الكتلة النابضة المعقدة بالتماثل بواسطة مراحل إذا كانت القوة الخارجية المطبقة على النظام دورية كما يلي V كوس (ث ر) أو V صن (ث ر).

ما هو مكسبنا العملي من خلال هذا التخيل المعقد المتجه لمرحلة ، أي من تيار كهربائي معقد أنا(تي) = K ويوزن؟ بفضل خاصية أن معدل التغير الفوري للدالة الأسية هو نفسه ، فإن الكسب العملي هائل.

لنفترض أن محلول EDOL الكهربائي المتجه المعقد عبارة عن طور ، أي شحنة كهربائية متجهة معقدة يمكن تمثيلها بتعبير معقد. ثم:

Q "(تي) = K ويوزن = أنا(تي) Þ Q(تي) = ò K ووزني دينارا = - يث-1 K ووزني.

حساب أول معدل لحظية لتغيير التيار لدينا:

أنا(تي) = K ووزني Þ أنا´(تي) = ث ي ك ووزني.

ثم ، باستبدال هذه التعبيرات في ناقلات معقدة EDOL ، نحصل على:

L (ث ي ك ووزني) + R K ووزني - C-1 (يث-1 K ووزني) = الخامس هوزني.

قسمة العضوين على المعادلة على ووزنييأتي ذلك:

L (ث ي ك) + RK - C-1 يث-1 K = V.

وهذا هو ، ثابت المعقد K يعطى بواسطة:

K = V / R + (ش، - C-1ث-1) ي Û K = V R - (ش، - C-1ث-1) ي / R2 + (ش، - C-1ث-1)2.

حتى نتمكن من الكتابة: أنا(تي) = أنا1(تي) + ي أنا2(تي) = K ووزني Þ

أنا(تي) = أنا1(تي) + ي أنا2(تي) = V R + (C-1ث-1 - ش،) ي كوس(ث ر) + ي صن(ث ر) / R2 + (ش، - C-1ث-1)2,

التي نستنتج منها في وقت واحد ما يلي:

أنا1(تي) = V R كوس (ث ر) - (C-1ث-1 - ش،) صن (ث ر) / R2 + (ش، - C-1ث-1)2,

أنا2(تي) = V (C-1ث-1 - ش،) كوس (ث ر) + R صن (ث ر)/R2 + (ش، - C-1ث-1)2.

للحصول على الأحمال الفعلية المطلوبة ، نقوم ببساطة بدمج التيارات الفعلية:

Q1(تي) = فولكس فاجن-1 R سين(ث ر) + (C-1ث-1 - ش،) كوس(ث ر)/ R2 + (ش، - C-1ث-1,

Q2(تي) = فولكس فاجن-1 (C-1ث-1 - ش،) صن(ث ر) - R كوس(ث ر)/R2 + (ش، - C-1ث-1.

لقد وجد المهندسون أن هناك مكاسب أكثر إثارة للاهتمام من تحديد مقاومة معقدة. نحدد مقاومة معقدة من الدائرة RLC ليكون حاصل

Z = V/أنا = الخامس هيوزن / K ويوزن = الخامس هيوزن / {V ويوزن / R + (ش، - C-1ث-1) ي} = R + (ش، - C-1ث-1) ي.

لذلك ، مقاومة معقدة Z = R + (ش، - C-1ث-1) ي يحتوي في الجزء الحقيقي على المقاومة R من الدائرة وفي جزءها الخيالي الثابت L من محاثة لفائف ، ثابت C مكثف وتردد ث من صباح الموردة إلى الدائرة.

من هناك ، قام المهندسون بتبسيط طريقة تعاملهم مع الدوائر الكهربائية بنجاح ، ونجحوا في إجراء المزيد من التطورات الرياضية الشاملة والفعالة في تحليل الشبكات الكهربائية والدوائر.

نحن مهتمون هنا بالتأمل في القدرة المثيرة للاهتمام للناقلات المسطحة ، أو الأعداد المركبة ، لوصف سلوك الطبيعة بوضوح وبساطة وكفاءة ، على سبيل المثال ، كما رأينا أعلاه ، في حالة الدوائر الكهربائية البسيطة أو بعض أنظمة الكتلة النابضة. . لذلك ، نعود إلى ملاحظتنا بأن المتجه قد يمثل ظاهرة طبيعية وأن العمليات بين المتجهات لا تزال تمثل ظواهر الطبيعة. حتى ، كما رأينا أعلاه ، قد لا تزال معدلات التباين الفوري تمثل ظاهرة طبيعية. وهكذا ، قد تمثل الأطوار الجهد الكهربائي أو الشحنة الكهربائية أو التيار الكهربائي أو المعاوقة الكهربائية ، وتستمر العمليات الجبرية بينهما في الإشارة إلى السلوكيات من الطبيعة. من المحتم إذن أن نتساءل: ما هي العمليات الأخرى بين المتجهات التي تمثل ظواهر الطبيعة؟ أي جبر متجه قادر على كشف سلوك الطبيعة؟

إلى أي مدى يمكن أن يذهب الإنسان العاقل العاقل في هذا الخط من أبحاث الطبيعة؟

العودة إلى الأعمدة

<

فيديو: كتاب الرياضيات. التناظر 1. الرابعة ابتدائي. درس 46 (أغسطس 2020).